MathDubes

Jawaban: B. 4/x + x²

Jawaban B adalah pilihan yang bukan polinomial karena mengandung eksponen negatif.

Penjelasan: Polinomial adalah ekspresi matematika yang terdiri dari variabel, konstanta, dan operasi penjumlahan, pengurangan, serta perkalian. Namun, ada beberapa syarat agar suatu ekspresi dapat disebut sebagai polinomial: Pangkat variabel harus bilangan bulat non-negatif (0, 1, 2, 3, ...). Tidak boleh ada variabel di penyebut (tidak berbentuk pecahan dengan variabel di bawah). Pada opsi B, terdapat suku 4x^-1, yang memiliki pangkat negatif (-1). Hal ini melanggar aturan polinomial, sehingga ekspresi ini bukan polinomial.

Jawaban: A. 10

Untuk mencari nilai P(1), kita substitusi x = 1 ke dalam polinomial:

P(1) = 5(1)⁴ - 3(1)³ + 2(1)² - (1) + 7

Langkah-langkah perhitungannya:

5(1)⁴ = 5
-3(1)³ = -3
2(1)² = 2
-(1) = -1
7 tetap 7

Sekarang kita jumlahkan hasilnya:

P(1) = 5 - 3 + 2 - 1 + 7 = 10

Jadi, P(1) = 10

Jawaban: A. 3x² + x + 6, Sisa = 5

Langkah-langkah untuk menyelesaikan pembagian polinomial P(x) = 3x³ - 5x² + 4x - 7 dengan D(x) = x - 2:

• Langkah 1: Bagikan suku pertama P(x) dengan suku pertama D(x):
  \( \frac{3x^3}{x} = 3x^2 \). Ini adalah suku pertama dari hasil bagi.
• Langkah 2: Kalikan 3x² dengan D(x):
  \( 3x^2 \times (x - 2) = 3x^3 - 6x^2 \).
• Langkah 3: Kurangkan hasilnya dari P(x):
  \( (3x^3 - 5x^2 + 4x - 7) - (3x^3 - 6x^2) = x^2 + 4x - 7 \).
• Langkah 4: Bagikan suku pertama \( x^2 \) dengan \( x \):
  \( \frac{x^2}{x} = x \). Ini adalah suku kedua dari hasil bagi.
• Langkah 5: Kalikan x dengan D(x):
  \( x \times (x - 2) = x^2 - 2x \).
• Langkah 6: Kurangkan hasilnya:
  \( (x^2 + 4x - 7) - (x^2 - 2x) = 6x - 7 \).
• Langkah 7: Bagikan \( 6x \) dengan \( x \):
  \( \frac{6x}{x} = 6 \). Ini adalah suku ketiga dari hasil bagi.
• Langkah 8: Kalikan 6 dengan D(x):
  \( 6 \times (x - 2) = 6x - 12 \).
• Langkah 9: Kurangkan hasilnya:
  \( (6x - 7) - (6x - 12) = 5 \).

Hasil bagi: 3x² + x + 6

Sisa: 5

Jawaban: A. Hasil bagi = \( 2x^2 - x + 3 \), Sisa = -2

Langkah-langkah untuk menyelesaikan pembagian polinomial \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) dengan \( D(x) = x - 1 \) menggunakan metode Horner:

• Langkah 1: Tulis koefisien polinomial \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) sebagai 2, -3, 4, -5.
• Langkah 2: Gunakan akar \( x = 1 \) (karena \( D(x) = x - 1 \)) dalam metode Horner.



Hasil bagi: \( 2x^2 - x + 3 \)

Sisa: -2

Jawaban: A. 2x + 4

Berdasarkan teorema sisa jika polinomial \( P(x) \) dibagi oleh \( (x-a) \) maka sisanya adalah \( S = P(a) \).

Sehingga jika polinom \( F(x) \) dibagi \( (x-4) \) sisanya 12 maka \( F(4) = 12 \),

dan jika polinom \( F(x) \) dibagi \( (x + 3) \) sisanya -2 maka \( F(-3) = -2 \).

Polinomial \( F(x) \) dibagi oleh \( (x^2 - x - 12) \) sehingga dapat kita peroleh:

\( F(x) = (x^2 - x - 12) \cdot H(x) + S(x) \)

\( F(x) = (x-4)(x+3) \cdot H(x) + mx + n \)

\( F(4) = (4-4)(4+3) \cdot H(4) + m(4) + n \)

\( 12 = 4m + n \)

\( F(-3) = (x-4)(-3+3) \cdot H(-3) + m(-3) + n \)

\( -2 = -3m + n \)

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:

• \( 4m + n = 12 \)
• \( -3m + n = -2 \)
• \( 7m = 14 \)
• \( m = 2 \) → \( n = 4 \)

Sisa pembagian \( S(x) = mx + n \) adalah \( S(x) = 2x + 4 \)

Jadi, pilihan yang sesuai adalah (A) 2x + 4

Jawaban: C. \( a = 3 \) dan \( b = 6 \)

Polinomial \( x^4 - 8x^2 + 2ax + b \) dibagi oleh \( x^2 - x - 2 \) sisanya \( 3x - 4 \) sehingga dapat kita peroleh:

\( x^4 - 8x^2 + 2ax + b = (x^2 - x - 2) \cdot H(x) + 3x - 4 \)

\( x^4 - 8x^2 + 2ax + b = (x-2)(x+1) \cdot H(x) + 3x - 4 \)

Untuk \( x = 2 \)

\( (2)^4 - 8(2)^2 + 2a(2) + b = (2-2)(2+1) \cdot H(2) + 3(2) - 4 \)

\( 16 - 32 + 4a + b = 2 \)

\( 4a + b = 18 \)

Untuk \( x = -1 \)

\( (-1)^4 - 8(-1)^2 + 2a(-1) + b = (-1-2)(-1+1) \cdot H(-1) + 3(-1) - 4 \)

\( 1 - 8 - 2a + b = -7 \)

\( -2a + b = 0 \)

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:

• \( 4a + b = 18 \)
• \( -2a + b = 0 \)
• \( 6a = 18 \)
• \( a = 3 \) → \( b = 6 \)

Jadi, pilihan yang sesuai adalah (C) \( a = 3 \) dan \( b = 6 \)

Jawaban: B. 5

Diketahui bahwa \(-2\) adalah salah satu akar \(x^3 + px^2 - 6x + 8 = 0\), sehingga berlaku :

\(x^3 + px^2 - 6x + 8 = 0\)
\((-2)^3 + p(-2)^2 -6(-2) + 8 = 0\)
\(-8 + 4p + 12 + 8 =0\)
\(4p = -12\)
\(p = \frac {-12}{4} = -13\)

---

\(x^3 + px^2 - 6x + 8 = 0\)
\(x^3 + 3x^2 - 6x + 8 = 0\)
\(x_1 + x_2 + x_3 = \frac {-b}{a}\)
\(x_1 + x_2 - 2 = \frac {-(-3)}{1}\)
\(x_1 + x_2 = 5\)

Jawaban: C. \(-\frac{1}{2}\)

Dari polinomial pada soal dapat kita peroleh:
\(2x^3-5x^2-9x+18 = 0\)

---

\(a = 2, b = -5, c = -9, d = 18\)

\(x_1 + x_2 + x_3 = \frac {-b}{a}\)
\(x_1 + x_2 + 3 = \frac {-5}{2}\)
\(x_1 + x_2 = \frac{5}{2} - 3\)
\(= \frac{5}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{1}{2} \)

Jawaban: B. \(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10 a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \)

Berdasarkan informasi pada soal dengan aturan
\((a + b)^n = a^n + \dbinom{n}{1} a^{n-1} + \dbinom{n}{2} a^{n-2}b^2 +.......+b^n\) dapat kita peroleh :

\((a + b)^5\)
\(= a^5 + \dbinom{5}{1} a^{5-1} + \dbinom{5}{2} a^{5-2}b^2 + \dbinom{5}{3} a^{5-3}b^3 + \dbinom{5}{4} a^{5-4}b^4 + b^5\)
\(= a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10 a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \)

Jawaban: D. \(16x^4 - 32x^3y + 24x^2y^2 - 8xy^3 + y^4 \)

Berdasarkan informasi pada soal dengan aturan
\((a + b)^n = a^n + \dbinom{n}{1} a^{n-1} + \dbinom{n}{2} a^{n-2}b^2 +.......+b^n\) dapat kita peroleh :

\((2x-y)^4\)
\(= (2x)^4 + \dbinom{4}{1} a^{4-1} (-y) + \dbinom{4}{2} (2x)^{4-2}(-y)^2 + \dbinom{4}{3} a^{4-3}(-y)^3 + (-y)^4\)
\(= 16x^4 + 4(2x)^3(-y) + 6(2x)^2y^2 + 4(2x)(-y)^3 + y^4\)
\(= 16x^4 - 4 . 8x^3y + 6(2x)^2y^2 - 8xy^3 + y^4\)
\(= 16x^4 - 32x^3y + 24x^2y^2 - 8xy^3 + y^4\)