Gradien Garis Singgung

Konsep dan Penerapan dalam Kalkulus

Kata Pengantar

Yo, teman-teman! Selamat datang di dunia kemiringan garis yang seru! Kali ini, kita bakal ngebahas tentang gradien garis singgung, alias bagaimana cara kita menentukan kemiringan suatu garis di titik tertentu pada sebuah kurva. Kedengarannya serius? Tenang, kita bakal bahas dengan santai biar gampang dipahami.

Bayangin aja kamu lagi naik skateboard di tanjakan atau meluncur di turunan—pasti ada sudut kemiringan yang bikin kamu bisa tetap stabil atau malah terjun bebas! Nah, konsep ini mirip banget sama yang bakal kita pelajari. Dengan memahami gradien garis singgung, kita bisa tahu seberapa curam atau landai sebuah kurva di titik tertentu.

Jadi, siap untuk menjelajah kemiringan dan menemukan rahasia di balik setiap lengkungan? Let's go!

Definisi

Gradien Garis Singgung adalah nilai kemiringan garis yang menyinggung suatu kurva di titik tertentu. Secara matematis, gradien ini menunjukkan laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya di titik tersebut.

Rumus

Setelah mengetahui pengertian dan langkah penyelesaiannya, kita masuk ke pembahasan rumus supaya bisa mendapatkan nilai persamaannya. Berikut adalah rumus persamaan garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah A(x₁,y₁):


y-y₁=m(x-x₁)


Untuk mendapatkan persamaan garis singgung, berarti kita butuh nilai gradien (m) garis singgung dan titik singgungnya (x₁,y₁) terlebih dahulu. Coba lo perhatikan lagi langkah-langkah yang udah gue uraikan sebelumnya.


Untuk mendapatkan gradien garis (m), ada beberapa cara sebagai berikut:


  1. Jika y = ax + b, maka gradien garisnya bisa dicari dengan m = a.
  2. Jika ax + by + c = 0, maka gradien garisnya m= -a/b.
  3. Jika ada dua garis yang posisinya saling sejajar, maka mᴀ=mʙ.
  4. Jika ada dua garis saling tegak lurus, maka mᴀ×mʙ=-1.


Contoh:

y = -2x + 1 → m = -2
6x – 2y + 3 = 0 → m = -6/(-2) = 3

Contoh 1

Garis singgung kurva y = x⁴-x² di titik (1,0) dan (-1, 0) berpotongan di (a,b). Nilai a-b = ...

Pembahasan

soal 1

Contoh 2

Jika A(3,2), B (-2,0), dan C (2,1), persamaan garis yang melalui titik A dan tegak lurus BC adalah ...

Pembahasan

soal 1

Contoh 3

Titik P (a,2) terletak pada garis L: 3x-2y+1 = 0. Persamaan garis melalui P dan tegak lurus garis L adalah ...

Pembahasan

soal 1

Aplikasi Gradien Garis Singgung

1. Fisika

Menghitung kecepatan dan percepatan suatu objek yang bergerak.

2. Ekonomi

Menganalisis perubahan nilai suatu aset atau keuntungan suatu perusahaan.

3. Teknik

Merancang jalan, jembatan, atau bangunan yang aman dan efisien.

3. Grafik

Membuat desain grafis yang menarik dan proporsional.

Latihan Soal

contoh jawaban persamaan: y=ax+b


  1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva y = x² di titik (2,4)!

  2. Tentukan gradien garis singung pada kurva y = 3x-x² di titik (1,2)!

  3. Tentukan gradien garis singgung pada kurva y = 1/x di titik (1,1)!

  4. Sebuah kurva memiliki persamaan y = sinx. Tentukan gradien garis singgung pada kurva tersebut di titik x = ½π!

  5. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ -2x di titik (2,4)!




Kirimkan pesan untuk tanya pembahasan.

Bu Fitri Bu Byas Bu Uut Bu Lewi Bu Iswari

Catatan Penting

  1. Gradien garis singgung sama dengan turunan pertama fungsi pada titik tersebut.
  2. Jika f'(x) = 0, maka garis singgung horizontal (gradien = 0).
  3. Jika gradien tidak terdefinisi, maka garis singgung vertikal.