Kata Pengantar
Sekarang kita akan belajar Fungsi Naik dan Turun. Materi ini seperti kehidupan kita, ada kalanya kita naik, ada kalanya kita turun. PAHAM!?!?
Definisi
Fungsi naik dan turun adalah fungsi dalam kalkulus yang nilai f(x) naik dan turun secara berurutan seiring dengan kenaikan nilai x. Turunan fungsi f(x) digunakan untuk memeriksa perilaku fungsi naik dan turun.
- Fungsi naik adalah fungsi yang nilainya naik seiring dengan kenaikan nilai x.
- Fungsi turun adalah fungsi yang nilainya turun seiring dengan kenaikan nilai x.
Rumus
- f'(x) > 0 (naik)
- f'(x) < 0 (turun)
Contoh
1. Interval x yang membuat kurva fungsi f(x) = x³-6x²+9x+2 selalu turun adalah
Penyelesaian:
f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2
f'(x) = 3x² - 12x + 9
f'(x) = 3x² - 12x + 9 <0
x² - 4x + 3 <0
( 3 - x) (x - 1) ≺0
1 < x < 0
2. Diberikan fungsi g(x) = 2x³-9x²+12x Interval x yang memenuhi kurva fungsi g(x) selalu naik adalah
Penyelesaian:
g(x) = 2x³ - 9x² + 12x
g'(x) = 6x² - 18x + 12
6x² - 18x + 12 > 0
x² - 3x + 2 > 0
(x - 2)(x - 1) > 0
x < 1 atau x > 2
3. Diketahui fungsi f(x) = x³+3x²–45x–15. Fungsi f turun pada interval
Penyelesaian:
f(x) = x³ + 3x² – 45x – 15, turun jika
f’(x) < 0
3x² + 6x – 45 < 0 <0
3(x² + 2x – 15) < 0 <0
3(x + 5)(x – 3) < 0
x = –5 atau x = 3
-5 < x < 3
4. Fungsi f(x) = x³–3x²–15 turun untuk semua x yang memenuhi
Penyelesaian:
f(x) = x³ + 3x² – 45x – 15, turun jika
f’(x) < 0
3x² – 6x < 0
3x (x – 2) < 0
x = 0 atau x = 2
0 < x < 2
5. Seorang petani menanam pohon dan tinggi pohon tersebut (dalam cm) setelah x bulan dapat dinyatakan dengan fungsi: f(x) = 2x³−9x²+12x.
Petani ingin mengetahui pada bulan keberapa tinggi pohon bertambah. Tentukan pada interval bulan ke berapa tinggi pohon mengalami pertumbuhan!
Penyelesaian:
f(x) = 2x³ - 9x² + 12x
f'(x) = 6x² −18x + 12
6x² - 18x + 12 > 0
x² - 3x + 2 > 0
(x - 1)(x - 2) > 0
x = 1 atau x = 2
x < 1 dan x > 2
Aplikasi Fungsi Naik Turun
1. Ekonomi dan Bisnis
- Harga dan Permintaan: Jika harga suatu barang naik, permintaan biasanya turun (fungsi turun). Sebaliknya, jika harga turun, permintaan naik (fungsi naik).
- Keuntungan dan Biaya Produksi: Semakin banyak barang yang diproduksi, keuntungan bisa meningkat, tetapi jika produksi melebihi kapasitas optimal, keuntungan bisa menurun.
2. Kesehatan dan Medis
- Efek Obat: Konsentrasi obat dalam darah mengikuti fungsi naik setelah dikonsumsi dan kemudian menurun saat tubuh mengolahnya.
- Detak Jantung saat Olahraga: Saat mulai berolahraga, detak jantung naik, lalu mencapai titik stabil, dan turun kembali setelah selesai.
3. Fisik dan Lingkungan
- Suhu Udara dalam Sehari: Biasanya suhu naik dari pagi ke siang dan turun dari sore ke malam.
- Ketinggian saat Mendaki Gunung: Saat mendaki, ketinggian naik, dan saat turun gunung, ketinggian berkurang.
4.Teknologi dan Sains
- Suhu Udara dalam Sehari: Biasanya suhu naik dari pagi ke siang dan turun dari sore ke malam.
- Ketinggian saat Mendaki Gunung: Saat mendaki, ketinggian naik, dan saat turun gunung, ketinggian berkurang.
5. Keuangan dan Investasi
- Nilai Saham: Harga saham bisa naik dan turun tergantung pada kondisi pasar.
- Pendapatan dan Usia: Biasanya, pendapatan seseorang naik seiring pengalaman bertambah, tetapi mendekati pensiun, pendapatan bisa menurun.
Latihan Soal
contoh jawaban: x < a; x > a; a < x < b; x < a dan x > b
-
Diketahui f(x) = x²-4x, tentukan interval turun fungsi tersebut!
-
Jika f(x) = 3x²-6x+2, maka interval di mana fungsi naik adalah ...
-
Fungsi g(x) = -2x³+6x²-4 bersifat turun pada ...
-
Tentukan interval ketika fungsi f(x) = x³-3x²+4 bersifat naik!
-
Sebuah fungsi memiliki turunan pertama f'(x) = (x-2)(x+3). Tentukan interval turun fungsi tersebut!
Kirimkan pesan untuk tanya pembahasan.
Catatan Penting
Perhatikan:
- Fungsi dapat naik pada suatu interval dan turun pada interval lainnya
- Titik stasioner terjadi saat f'(x) = 0
- Grafik fungsi naik condong ke atas
- Grafik fungsi turun condong ke bawah
|